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Jean-Marie Bernard
This paper is devoted to the stationary problem of second grade fluids, in the case where $\a_1+\a_2=0$, in three dimensions. In relation to the problem in two dimensions, studied by E. H. Ouazar, the $H^3$ norm of the velocity, in three dimensions, is not bounded for all data. However, by a special method, using together a $H^1$ bound of the velocity, a ``pseudo continuous dependence'' with respect to the data (effective for a small $H^3$ norm of the velocity) and a polynomial inequality (verified by the $H^3$ norm of the velocity), we show existence of solutions, uniqueness, continuous dependence with respect to the data, with small data. We also prove further regularity results establishing that this is a classical solution when the datum is small enough and smooth enough.
Cet article est consacré au problème stationnaire des fluides de grade deux, dans le cas $\a_1+\a_2=0$, en dimension trois. Par rapport au problème en dimension deux, étudié par E. H. Ouazar, la norme $H^3$ de la vitesse, en dimension trois, n'est pas bornée pour toute donnée. Cependant, par une méthode spéciale, utilisant conjointement une majoration $H^1$ de la vitesse, une ``pseudo continuité'' par rapport à la donnée (effective pour une norme de la vitesse dans $H^3$ petite) et une inégalité polynômiale (vérifiée par la norme $H^3$ de la vitesse), nous montrons l'existence de solutions, l'unicité, la dépendance continue par rapport à la donnée, pour une donnée petite. On établit des résultats de régularité qui montrent que cette solution est une solution au sens classique, quand la donnée est assez petite et assez réguliére.
